Pembuktian Validitas

Konklusi sebaiknya diturunkan dari premis-premis atau premis-premis selayaknya mengimplikasikan konklusi. Dalam argumentasi yang valid, konklusi akan bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Jadi validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran.Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah. Untuk menentukan validitas suatu argumen dengan selalu mengerjakan tabel kebenarannya tidaklah praktis. Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens, Modus tolens, dan silogisme.

1.      Modus Ponens

premis 1 : p →q

premis 2 : p             ( modus ponens)

______________

Kesimpulan: q

2.      Modus Tolens

premis 1 : p →q

premis 2 : ~q             ( modus tollens)

______________

Kesimpulan: ~p

3.      Modus Silogisme

premis 1 : p→q

premis 2 : q → r            ( silogisme)

 _______________

Kesimpulan:  p →r

            Untuk menguji atau membuktikan sebuah argumen yang valid yang mempunyai proposisi yang lebih dari tiga, harus mengenal beberapa aturan penarikan kesimpulan yaitu beberapa argumen elemeter yang valid. Untuk membuktikan validitas suatu argumen dapat dilakukan dengan cara mencari konluksi dari premis-premisnya dengan rangkaian argmen-argumen elementer yang lebih pendek dan valid.

            Ada beberapa aturan untuk menunjukkan metode pembuktian ini. Aturan-aturan berikut menyatakan argumen yang validitasnya dengan mudah dan dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran yang disebut Aturan Pemeriksaan Kesimpulan atau Rule of Inference, sebagai berikut:

1.      Simplikasi (Simp)

Premis 1          : p˄q atau p˄q

________________________

Kesimpulan     : p             q

2.      Konjungsi (Conj)

Premis 1          : p

Premis 2          : q

_________________

Kesimpulan     : p˄q

3.      Silogisme disjungtip (DS)

Premis 1          : p˅q atau p˅q

Premis 2          : ~p           ~q

________________________

Kesimpulan     : q              p

4.      Addisi (Add)

Premis 1          : p

_______________

Kesimpulan     : p˅q

5.      Modus ponens (MP)

6.      Modus tolens (MT)

7.      Silogisme (HS)

8.      Dilemma konstruktif (CD)

Premis 1          : (p→q) ˄ (r→s)

Premis 2          : p˅r

__________________________

Kesimpulan     : q˅s

9.      Dilemma destruktif

Premis 1          : (p→q)˄(r→s)

Premis 2          : ~p˅~s

_________________________

Kesimpulan     : ~p˅~s

Aturan Penukaran ( The Rule Reflacement)

Ada beberapa argumen yang validitasnya tidak dapat dibuktikan jika hanya menggunakan aturan diatas, maka diperlukan tambahan aturan penarikan kesimpulan yang disebut Rule of Reflacement (Aturan Penukaran). Aturan penukaran merupakan, jika sebagian dari sebuah pernyataan majemuk ditukar dengan sebuah pernyataan lain yang ekuivalen logis dengan bagian yang ditukar itu, maka nilai kebenaran pernyataan yang dihasilkan yaitu yang baru adalah yang sama dengan pernyataan semula. Adapun secara lengkapnya aturan penukaran itu adalah:

10.  De Morgan’s Theorem (DM):

________________________

~(p˄q) ≡ ~p˅~q

~(p˅q) ≡ ~p˄~q

11.  Commutation (Com):

_________________

(p˅q) ≡ (q˅p)

(p˄q) ≡ (q˄q)

12.  Association (Assoc):

__________________

[p˅(q˅r)] ≡ [(p˅q)˅r]

[p˄(q˄r)] ≡ [(p˄q)˄r]

13.  Distribution (Dist):

_____________________

[p˄(q˅r)] ≡ [(p˄q)˅(p˄r)]

[p˅(q˄r)] ≡ [(p˅q)˄(p˅r)]

14.   Double Negation (DN):

___________________

P ≡ ~~p

15.   Transposition (Trans):

__________________

(p→q) ≡(~q→~p)

16.  Mateial Implication (Impl):

______________________

(p→q) ≡ (~p˅q)

17.  Material Equivalent (Equiv):

_______________________

(p ≡ q) ≡ [(p→q)˄(q→p)]

(p ≡ q) ≡ [(p˄q)˅(~p˄~q)]

18.  Exportation (Exp)

____________________

[(p˄q)→r] ≡ [p→(q→r)]

19.  Tautologi (Taut):

P ≡ p˅q

P ≡ p˄q

Contoh 1:

Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua mahasiswa  akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas ?

Jawab :

Kita akan menerjemahkan argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol.

Misal :

a = pengetahuan  logika  diperlukan,

b = pengetahuan  aljabar diperlukan,

c = Semua orang akan belajar  matematika,

 d=pengetahuan  geometri diperlukan.

Maka :

(a∨ b)⇒ c                  Premis

a∧ d                            Premis

a                                  2, Penyederhanaan

a∨ b                            3, Tambahan

∴c                               1, 4, Modus Ponen

Jadi argumen di atas adalah valid.

Contoh 2:

Perhatikan suatu argumen dengan lima pernyataan tunggal yang berlainan, seperti berikut:

a.       Jaksa agung mengadakan sensor pos yang keras atau jika Badu mengirimkan surat yang diterimanya maka Didu menerima peringatan (A, B, D)

b.      Jika garis komunikasi kita tidak putus, maka jika Didu menerima peringatan, maka Eni diberitakan persoalannya (P, D, E)

c.       Jika jaksa agung mengadakan sensor yang keras, maka garis komunikasi bisa putus (A, P)

d.      Garis komunikasi tidak putus (P)

e.       Jadi jika Badu mengirimkan surat yang diterimanya, maka Eni diberitahu persoalannya (B, E)

Jadi  diterjemahkan dalam bentuk lambang, maka:

A˅(B→D)

~P→(D→E)

A→P

~P

●B→E

Untuk membuktikan validitas argumen, membuktikannya dengan menarik konklusi-konklusinya dari premis dengan bantuan rangkaian dari argumen-argumen valid elementer, misalnya MT, MP, DS, HS dan sebagainya. Selanjutnya tarik konklusi demi konklusi sehingga terbentuk:

1.      A˅(B→D)

2.      ~P→(D→E)

3.      A→P

4.      ~P                                /●B→E

5.      ~A                                   3,4 MT

6.      B→D                              1,5 DS

7.      D→E                               2,4 MP

8.      B→E                               6,7 HS

Jadi: jika Badu mengirimkan surat yang diterimanya, maka Eni diberitakan persoalannya.